ចម្លើយអាម៉ូនិកដោយបង្ខំរបស់ប្រព័ន្ធ SDOF មានអំពើអូសទាញ

សេចក្តីសង្ខេប

អត្ថបទនេះសិក្សាចម្លើយរបស់ប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរ មានអំពើអូសទាញ និងមានមួយដឺក្រេសេរីភាព (SDOF) ក្រោមកម្លាំងស៊ីនុយសូអ៊ីត។ ចម្លើយត្រូវបានបែងចែកជាផ្នែកបណ្ដោះអាសន្ន ដែលថយចុះដោយសារអំពើអូសទាញ និងផ្នែកស្ថិរភាព ដែលបន្តយោលតាមប្រេកង់កម្លាំង។ ប្រើម៉ាស 8,000 តោន ភាពរឹង \(2.0\times10^9\) N/m អនុបាតអូសទាញ \(\xi=0.05\) និងអំព្លីទុតកម្លាំង 5,000 kN ដើម្បីវាយតម្លៃប្រេកង់បង្ខំ 2.5, 3.0 និង 5.0 Hz។ ក្រាបបង្ហាញឥទ្ធិពលនៃសមាមាត្រប្រេកង់លើការបង្កើនឌីណាមិច និងប្រៀបធៀបចម្លើយនៅដំណាក់កាលចាប់ផ្ដើមជាមួយចម្លើយតាមវដ្តរយៈពេលវែង។

ជំពូកទី 1 — គំរូ ទិន្នន័យបញ្ចូល និងចម្លើយ

1.1 សមីការចលនា

ប្រព័ន្ធត្រូវបានតំណាងដោយសមីការ

\[ m\ddot{u}(t)+c\dot{u}(t)+ku(t)=P_0\sin(\Omega t), \]

ដែល \(u(t)\) ជាការផ្លាស់ទី \(m\) ជាម៉ាស \(c\) ជាមេគុណអំពើអូសទាញស្អិត \(k\) ជាភាពរឹង \(P_0\) ជាអំព្លីទុតកម្លាំង និង \(\Omega\) ជាប្រេកង់មុំរបស់កម្លាំងបង្ខំ។ អនុបាតអូសទាញគឺ \(\xi=c/(2m\omega_n)\)។

តម្លៃដែលបានផ្ដល់មាន៖

បរិមាណ	សញ្ញា	តម្លៃ
ម៉ាស	\(m\)	8,000,000 kg
ភាពរឹង	\(k\)	\(2.0\times10^9\) N/m
អនុបាតអូសទាញ	\(\xi\)	0.05
អំព្លីទុតកម្លាំង	\(P_0\)	5,000,000 N
ការផ្លាស់ទីដំបូង	\(u_0\)	0 m
ល្បឿនដំបូង	\(v_0\)	0 m/s
ប្រេកង់បង្ខំ	\(f=\Omega/(2\pi)\)	2.5, 3.0 និង 5.0 Hz

ប្រេកង់ធម្មជាតិមិនមានអំពើអូសទាញ និងប្រេកង់ធម្មជាតិមានអំពើអូសទាញគឺ

\[ \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=15.811\ \mathrm{rad/s}=2.516\ \mathrm{Hz}, \qquad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}=15.792\ \mathrm{rad/s}=2.513\ \mathrm{Hz}. \]

1.2 ផ្នែកបណ្ដោះអាសន្ន និងផ្នែកស្ថិរភាព

ចម្លើយសរុបគឺផលបូករវាងចម្លើយបណ្ដោះអាសន្ន និងចម្លើយស្ថិរភាពក្រោមកម្លាំងបង្ខំ៖

\[ u(t)=u_{\mathrm{tr}}(t)+u_{\mathrm{ss}}(t). \]

សម្រាប់ប្រព័ន្ធអូសទាញក្រោមកម្រិត ផ្នែកបណ្ដោះអាសន្នមានទម្រង់

\[ u_{\mathrm{tr}}(t)=e^{-\xi\omega_n t}\left[B_1\cos(\omega_d t)+B_2\sin(\omega_d t)\right]. \]

សមីការនេះក៏ជាចម្លើយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាឯកសណ្ឋានសម្រាប់ចលនាសេរីផងដែរ។ មេគុណ \(B_1\) និង \(B_2\) កំណត់ដោយការផ្លាស់ទីដំបូង ល្បឿនដំបូង លក្ខណៈធម្មជាតិរបស់ប្រព័ន្ធ និងបន្ទុកខាងក្រៅ។ តាមសញ្ញាសម្គាល់ក្នុងសមីការដែលបានផ្ដល់ កំណត់

\[ \beta=\frac{\Omega}{\omega_n},\qquad D=(1-\beta^2)^2+(2\xi\beta)^2. \]

មេគុណបណ្ដោះអាសន្នគឺ

\[ B_1=u_0+\frac{2\xi\beta}{D}\frac{P_0}{k},\qquad B_2=\frac{v_0+\xi\omega_n B_1}{\omega_d} -\frac{(1-\beta^2)\Omega}{\omega_dD}\frac{P_0}{k}. \]

ចម្លើយស្ថិរភាពគឺ

\[ u_{\mathrm{ss}}(t)=\frac{P_0}{k\sqrt D}\sin(\Omega t-\phi), \]

ដែលមុំផាសកំណត់ដោយ

\[ \cos\phi=\frac{1-\beta^2}{\sqrt D},\qquad \sin\phi=\frac{2\xi\beta}{\sqrt D},\qquad \tan\phi=\frac{2\xi\beta}{1-\beta^2}. \]

អំព្លីទុតការផ្លាស់ទីស្ថិរភាពគឺ \(P_0/(k\sqrt D)\) ហើយមិនអាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌដំបូងទេ។ ផ្នែកបណ្ដោះអាសន្នធានាថាចម្លើយសរុបបំពេញតាមលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានកំណត់។

ជំពូកទី 2 — រូបទី 1៖ កត្តាពង្រីកថាមវន្តតាមសមាមាត្រប្រេកង់

រូបទី 1 បង្ហាញកត្តាពង្រីកថាមវន្ត \(A\) ក្នុងចន្លោះ \(0\leq\beta\leq3\) សម្រាប់ \(\xi=0.05\) ដែល

\[ A(\xi,\beta)=\frac{1}{\sqrt{(1-\beta^2)^2+(2\xi\beta)^2}} \]

អំព្លីទុតចម្លើយលំនឹងស្ថិរគឺ

\[ u_{\mathrm{ss,amp}}=\frac{P_0}{k}A =\underbrace{\frac{P_0}{k}}_{\text{ការផ្លាស់ទីឋិតិវន្ត}}\, \underbrace{A}_{\text{កត្តាពង្រីកថាមវន្ត}} \]

ដូច្នេះ \(P_0/k\) គឺជាការផ្លាស់ទីឋិតិវន្តក្រោមកម្លាំងថេរទំហំ \(P_0\) ខណៈ \(A\) ជាកត្តាគុណសម្រាប់ទទួលបានអំព្លីទុតលំនឹងស្ថិរចំពោះកម្លាំងស៊ីនុយសូអ៊ីត។ សម្រាប់ទិន្នន័យបញ្ចូលក្នុងអត្ថបទនេះ \(P_0/k=0.0025\) m (2.5 mm)។

នៅ \(\beta=0\) កត្តាពង្រីកស្មើ 1។ សម្រាប់អំពើអូសទាញមិនសូន្យ កំពូលជាទូទៅកើតឡើងនៅតម្លៃ \(\beta\) ទាបជាង 1 បន្តិច។ ដោយដាក់ \(dA/d\beta=0\) បាន៖

\[ \beta_{\max}=\sqrt{1-2\xi^2}, \qquad 0<\xi<\frac{1}{\sqrt{2}}. \]

សម្រាប់ \(\xi=0.05\) មាន \(\beta_{\max}=0.9975\) និង \(A_{\max}=1/(2\xi\sqrt{1-\xi^2})=10.0125\)។ នៅ \(\beta=1\) ពិតប្រាកដ មាន \(A=1/(2\xi)=10\) ដែលជិតនឹងតម្លៃអតិបរមា ប៉ុន្តែតូចជាងបន្តិចសម្រាប់អនុបាតអំពើអូសទាញនេះ។ នៅពេលប្រេកង់រំញោចខ្ពស់ជាងតម្លៃកំពូល \(A\) ថយចុះ ហើយអំព្លីទុតចម្លើយស្ថិរតូចជាងបើប្រៀបធៀបនឹងការផ្លាស់ទីឋិតិវន្ត។

សមាមាត្រប្រេកង់កំពូលតាមអនុបាតអំពើអូសទាញ

រូបទី 1b បង្ហាញសមាមាត្រប្រេកង់ដែលធ្វើឱ្យ \(A\) មានតម្លៃអតិបរមា តាមការប្រែប្រួលអនុបាតអំពើអូសទាញ។ លក្ខខណ្ឌ \(dA/d\beta=0\) ផ្ដល់ \(\beta_{\max}=\sqrt{1-2\xi^2}\) នៅពេល \(0<\xi<1/\sqrt{2}\)។ កំពូលផ្លាស់ទៅសមាមាត្រប្រេកង់ទាប នៅពេលអំពើអូសទាញកើនឡើង។ ចំណុចសម្រាប់ប្រព័ន្ធនេះដែលមាន \(\xi=0.05\) ត្រូវបានសម្គាល់លើក្រាប។ នៅពេលអំពើអូសទាញសូន្យ ចម្លើយមិនមានដែនកំណត់នៅ \(\beta=1\)។ នៅពេល \(\xi\geq1/\sqrt{2}\) កំពូលលើជួរសមាមាត្រប្រេកង់មិនអវិជ្ជមានកើតនៅ \(\beta=0\)។

សមាមាត្រប្រេកង់សម្រាប់ប្រេកង់បង្ខំទាំងបីប្រហែល 0.994, 1.193 និង 1.988 តាមលំដាប់។ បន្ទុក 2.5 Hz ជិតនឹងប្រេកង់ធម្មជាតិបំផុត ខណៈបន្ទុក 5.0 Hz ជិតពីរដងនៃប្រេកង់ធម្មជាតិ។

ជំពូកទី 3 — រូបទី 2៖ ចម្លើយនៅ 2.5 Hz

សម្រាប់ \(f=2.5\) Hz មាន \(\Omega=15.708\) rad/s និង \(\beta\approx0.994\)។ ប្រេកង់បង្ខំទាបជាងប្រេកង់ធម្មជាតិតែបន្តិច។ អំព្លីទុតការផ្លាស់ទីស្ថិរភាពប្រហែល 25 mm ដែលធំបំផុតក្នុងចំណោមករណីទាំងបី។

នៅពេលកម្លាំងចាប់ផ្ដើម ចម្លើយស្ថិរភាពតែមួយមុខជាទូទៅមិនបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងទេ។ ផ្នែកបណ្ដោះអាសន្នបន្ថែមដើម្បីប៉ះប៉ូវការផ្លាស់ទី និងល្បឿនរបស់ចម្លើយស្ថិរភាពនៅ \(t=0\) ដូច្នេះចម្លើយសរុបចាប់ផ្ដើមពីស្ថានភាពស្ងៀម។ បន្ទាប់មកការយោលបណ្ដោះអាសន្នថយចុះតាមស្រោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល \(e^{-\xi\omega_n t}\)។ នៅពេលផ្នែកនេះតូចទៅ ចម្លើយសរុបចូលទៅជិតការយោលស្ថិរភាពនៅ 2.5 Hz។

ចម្លើយដំបូងអាចខុសពីអំព្លីទុតចុងក្រោយយ៉ាងច្រើន ព្រោះផ្នែកបណ្ដោះអាសន្ន និងស្ថិរភាពត្រូវបានបូកបញ្ចូលគ្នា។ ផាសធៀបរបស់វាកំណត់ថាតើវាបន្ថែមគ្នា ឬប៉ះប៉ូវគ្នាខ្លះៗនៅពេលនីមួយៗ។

ជំពូកទី 4 — រូបទី 3៖ ចម្លើយនៅ 3.0 Hz

សម្រាប់ \(f=3.0\) Hz មាន \(\Omega=18.850\) rad/s និង \(\beta\approx1.193\)។ ប្រេកង់នេះខ្ពស់ជាងប្រេកង់ធម្មជាតិ ប៉ុន្តែនៅជិតគ្នាគួរសម។ អំព្លីទុតការផ្លាស់ទីស្ថិរភាពប្រហែល 5.7 mm តិចជាងមួយភាគបួននៃករណី 2.5 Hz។

ចម្លើយសរុបចាប់ផ្ដើមពីសូន្យ ហើយមានការផ្លាស់ទីដំបូងធំជាង នៅពេលផ្នែកបណ្ដោះអាសន្ននៅតែមានឥទ្ធិពល។ តាមពេលវេលា ផ្នែកបណ្ដោះអាសន្នថយចុះ ហើយចម្លើយសរុបចូលទៅជិតខ្សែស្ថិរភាពនៅ 3.0 Hz។ ការប្រៀបធៀបជាមួយរូបទី 2 បង្ហាញថា ការប្រែប្រួលប្រេកង់ត្រឹម 0.5 Hz មានឥទ្ធិពលខ្លាំង ព្រោះវាធ្វើឱ្យប្រព័ន្ធផ្លាស់ចេញពីសមាមាត្រប្រេកង់ដែលមានការបង្កើនខ្លាំងបំផុត។

ការផ្លាស់ទីកំពូលនៅដំណាក់កាលចាប់ផ្ដើមមិនអាស្រ័យលើអំព្លីទុតស្ថិរភាពតែមួយទេ។ វាអាស្រ័យលើអំព្លីទុត និងផាសនៃផ្នែកបណ្ដោះអាសន្ន ដែលក្នុងករណីនេះកំណត់ដោយការផ្លាស់ទី និងល្បឿនដំបូងសូន្យ។

ជំពូកទី 5 — រូបទី 4៖ ចម្លើយនៅ 5.0 Hz

សម្រាប់ \(f=5.0\) Hz មាន \(\Omega=31.416\) rad/s និង \(\beta\approx1.988\)។ ប្រេកង់បង្ខំខ្ពស់ជាងប្រេកង់ធម្មជាតិច្រើន។ អំព្លីទុតការផ្លាស់ទីស្ថិរភាពប្រហែល 0.84 mm ដែលតូចបំផុតក្នុងចំណោមករណីទាំងបី។

ចម្លើយនៅដំណាក់កាលដំបូងនៅតែមានផ្នែកបណ្ដោះអាសន្ន ហើយចម្លើយសរុបអាចមានកំពូលលើសអំព្លីទុតស្ថិរភាពខ្លះៗ នៅពេលផ្នែកទាំងពីរបូកគ្នា។ ផ្នែកបណ្ដោះអាសន្ននឹងថយចុះ ហើយនៅសល់តែការយោលតូចជាងនៅប្រេកង់កម្លាំង។ លទ្ធផលស្របនឹងរូបទី 1៖ នៅសមាមាត្រប្រេកង់ខ្ពស់នេះ កត្តាពង្រីកថាមវន្ត \(A\) តូចជាងក្បែរ \(\beta_{\max}\) ច្រើន ដូច្នេះអំព្លីទុតស្ថិរភាព \((P_0/k)A\) ក៏តូចជាងដែរ។

ជំពូកទី 6 — ការពិភាក្សា

លទ្ធផលបែងចែកឥរិយាបថពេលចាប់ផ្ដើមចេញពីចលនាបង្ខំរយៈពេលវែង។ ពាក្យបណ្ដោះអាសន្នយោលជាចម្បងតាមប្រេកង់ធម្មជាតិមានអំពើអូសទាញ ហើយថយចុះតាមស្រោមអំពើអូសទាញ។ ពាក្យស្ថិរភាពយោលតាមប្រេកង់កម្លាំងដែលដាក់ ហើយបន្តមានដរាបណាកម្លាំងស៊ីនុយសូអ៊ីតនៅតែបន្ត។

អំព្លីទុតស្ថិរភាពសម្រាប់ករណីទាំងបីថយចុះ នៅពេលប្រេកង់បង្ខំឆ្ងាយពីប្រេកង់រេសូណង់៖

ប្រេកង់បង្ខំ	សមាមាត្រប្រេកង់ \(\beta\)	អំព្លីទុតស្ថិរភាព
2.5 Hz	0.994	ប្រហែល 25 mm
3.0 Hz	1.193	ប្រហែល 5.7 mm
5.0 Hz	1.988	ប្រហែល 0.84 mm

តម្លៃទាំងនេះគណនាពីកម្លាំង និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រព័ន្ធដែលបានផ្ដល់។ វាបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកលើប្រេកង់របស់ប្រព័ន្ធ SDOF លីនេអ៊ែរ មិនមែនការផ្លាស់ប្ដូរអំព្លីទុតកម្លាំងទេ៖ អំព្លីទុតកម្លាំងនៅតែ 5 MN សម្រាប់គ្រប់ករណី។ ចម្លើយស្ថិរភាពធំបំផុតកើតនៅ 2.5 Hz ព្រោះប្រេកង់បង្ខំជិតប្រេកង់ធម្មជាតិបំផុត។

ក្រាបចម្លើយគួរបង្ហាញថាការផ្លាស់ទីសរុបស្មើផលបូកនៃផ្នែកពីរផ្សេងទៀត។ នេះជាវិធីពិនិត្យសមីការ និងកូដ។ រូបភាពដែលបង្កើតឡើងវិញក្នុងអត្ថបទនេះប្រើសមីការដូចគ្នាសម្រាប់សមាសភាគទាំងបី បំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងនៅ \(t=0\) ហើយដាក់ប្រអប់ទិន្នន័យនៅខាងក្រៅអ័ក្សគំនូស ដើម្បីកុំឱ្យគ្របខ្សែក្រាប។

វិសាលភាព និងសន្មត់

គំរូនេះសន្មតថាភាពរឹងលីនេអ៊ែរ អំពើអូសទាញស្អិត លក្ខណៈប្រព័ន្ធថេរ និងមានមួយដឺក្រេសេរីភាព។ វាក៏សន្មតថាបន្ទុកស៊ីនុយសូអ៊ីតបន្តចាប់ពី \(t=0\)។ រចនាសម្ព័ន្ធពិតអាចមានមូដរំញ័រច្រើន ចម្លើយមិនលីនេអ៊ែរ អំពើអូសទាញប្រែប្រួល ឬបន្ទុកដែលអំព្លីទុត និងប្រេកង់ប្រែប្រួល។ បាតុភូតទាំងនេះមិនស្ថិតក្នុងការគណនានេះទេ។

ជំពូកទី 7 — សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

1. ប្រព័ន្ធមានប្រេកង់ធម្មជាតិមិនមានអំពើអូសទាញប្រហែល 2.516 Hz និងប្រេកង់ធម្មជាតិមានអំពើអូសទាញប្រហែល 2.513 Hz។
2. សម្រាប់ \(0<\xi<1/\sqrt{2}\) កំពូលកើតនៅ \(\beta_{\max}=\sqrt{1-2\xi^2}\)។ សម្រាប់ \(\xi=0.05\) មាន \(\beta_{\max}=0.9975\) និង \(A_{\max}=10.0125\)។
3. ក្នុងចំណោមប្រេកង់បង្ខំទាំងបី ករណី 2.5 Hz ផ្ដល់ការផ្លាស់ទីស្ថិរភាពធំបំផុត (ប្រហែល 25 mm) បន្ទាប់មក 3.0 Hz (ប្រហែល 5.7 mm) និង 5.0 Hz (ប្រហែល 0.84 mm)។
4. ចម្លើយបណ្ដោះអាសន្នមានសារៈសំខាន់នៅពេលចាប់ផ្ដើមបន្ទុក ប៉ុន្តែវាថយចុះតាមពេលវេលា។ បន្ទាប់ពីវាថយចុះគ្រប់គ្រាន់ ចម្លើយសរុបត្រូវបានគ្រប់គ្រងដោយការយោលស្ថិរភាពនៅប្រេកង់កម្លាំង។
5. ការផ្លាស់ទីកំពូលពេលចាប់ផ្ដើមអាចលើសអំព្លីទុតស្ថិរភាព ព្រោះផ្នែកបណ្ដោះអាសន្ន និងស្ថិរភាពបូកបញ្ចូលគ្នាតាមផាសរបស់វា។

ជំពូកទី 8 — អនុសាសន៍សម្រាប់ការសិក្សានាពេលអនាគត

• បង្កើនដង់ស៊ីតេការវិភាគប្រេកង់ក្បែរ​រេសូណង់។ គណនាអំព្លីទុតស្ថិរភាពក្នុងជួរប្រេកង់ដិតជុំវិញ 2.516 Hz ហើយគូសខ្សែកោងរេសូណង់ ដើម្បីកំណត់កំពូលឱ្យបានច្បាស់។
• ប្ដូរអនុបាតអូសទាញ។ ប្រៀបធៀបខ្សែកោងចម្លើយ និងការថយចុះនៃចម្លើយបណ្ដោះអាសន្ន សម្រាប់តម្លៃ \(\xi\) ខុសៗគ្នា ដើម្បីវាយតម្លៃឥទ្ធិពលលើកំពូលចម្លើយ និងពេលស្ងប់។
• រាយការណ៍សូចនាករចម្លើយ។ សម្រាប់ករណីនីមួយៗ តារាងអំព្លីទុតស្ថិរភាព ការផ្លាស់ទីសរុបដាច់ខាតអតិបរមា និងពេលវេលាដែលស្រោមបណ្ដោះអាសន្នធ្លាក់ក្រោមកម្រិតកំណត់។
• សិក្សាលក្ខខណ្ឌដំបូងផ្សេងៗ។ តម្លៃ \(u_0\) និង \(v_0\) មិនសូន្យនឹងផ្លាស់ប្ដូរចម្លើយបណ្ដោះអាសន្ន ប៉ុន្តែអំព្លីទុតស្ថិរភាពនៅដដែលសម្រាប់កម្លាំង និងលក្ខណៈប្រព័ន្ធដូចគ្នា។
• ពិនិត្យប្រវត្តិបន្ទុកផ្សេងៗ។ ប្រៀបធៀបបន្ទុកអាម៉ូនិកជាមួយបន្ទុកជីពចរ បន្ទុកច្រើនប្រេកង់ និងប្រវត្តិរំញ័រដែលបានកត់ត្រា។
• ពង្រីកគំរូរចនាសម្ព័ន្ធ។ នៅពេលចាំបាច់ សិក្សាឥរិយាបថច្រើនដឺក្រេសេរីភាព ភាពរឹងមិនលីនេអ៊ែរ និងគំរូអំពើអូសទាញដែលសមស្របជាង។