មុំវិលនៃធ្នឹមកាន់ទ្រទ្រង់ដោយមានរ៉ឺស័រវិលនៅរ៉ូឡឺរ

ធ្នឹមមួយត្រូវបានផ្អាកនៅចុង A និងទ្រទ្រង់នៅចុង B ដោយរ៉ូឡឺរដែលត្រូវបានរារាំងមិនឲ្យវិល ដោយរ៉ឺស័រវិលដែលមានភាពរឹង \(\beta\)។ ធ្នឹមទ្រទ្រង់បន្ទុកបង្ហាប់ស្មើគ្នា \(w\) ពេញប្រវែង \(L\)។ អត្ថបទនេះស្វែងរកមុំវិលនៅ B ហើយបង្ហាញពីរបៀបដែលរ៉ឺស័រផ្លាស់ប្ដូរវា។

ធ្នឹមដែលមានបន្ទុកស្មើគ្នា $w$ ផ្អាកនៅ A និងរ៉ូឡឺរនៅ B ជាមួយរ៉ឺស័រវិល $\beta$។

គំនិតនៃដំណោះស្រាយ

បើគ្មានរ៉ឺស័រ ចុង B គឺជារ៉ូឡឺរសេរី ហើយធ្នឹមជាធ្នឹមកុងសូលដែលមានទ្រទ្រង់។ មុំវិលចុងរបស់វាក្រោមបន្ទុកគឺស្គាល់។ បន្ទាប់មករ៉ឺស័រអនុវត្តម៉ូម៉ង់ \(M_B\) នៅ B ដែលប្រឆាំងនឹងការវិល។ ការត្រួតស៊ីគ្នាបញ្ចូលផលពីរ៖

\[ \theta_B = \theta_0 - \theta_M \]

ដែល \(\theta_0\) ជាមុំវិលដែលបន្ទុកតែម្នាក់ឯងបង្កើត ហើយ \(\theta_M\) ជាមុំវិលដែលម៉ូម៉ង់របស់រ៉ឺស័របង្កើត។

ជំហានទី 1៖ មុំវិលដែលបន្ទុកបង្កើត

សម្រាប់ធ្នឹមកុងសូលដែលមានទ្រទ្រង់ (ផ្អាកនៅ A រ៉ូឡឺរនៅ B គ្មានរ៉ឺស័រ) ក្រោមបន្ទុកស្មើគ្នា ដោយវាស់ \(x\) ពី A ម៉ូម៉ង់គឺ

\[ M(x) = -\frac{w}{2}x^2 + \frac{5wL}{8}x - \frac{wL^2}{8} \]

ការធ្វើអាំងតេក្រាល \(EI\,\dfrac{d^2y}{dx^2} = -M(x)\) ពីរដង ហើយប្រើ \(\theta(0)=0\) នៅចុងផ្អាក ផ្ដល់

\[ \theta(x) = \frac{1}{EI}\left(\frac{wx^3}{6} - \frac{5wL}{16}x^2 + \frac{wL^2}{8}x\right) \]

នៅរ៉ូឡឺរ \(x = L\)៖

\[ \theta_0 = \theta(L) = \frac{wL^3}{48EI} \]

ការគណនាផ្ដល់សញ្ញាអវិជ្ជមានតាមអនុសញ្ញាសញ្ញាម៉ូម៉ង់។ សញ្ញានេះគ្រាន់តែបង្ហាញទិសនៃការវិល ដូច្នេះប្រើទំហំ \(wL^3/(48EI)\) ហើយទិសវិលត្រូវបានយកតាមទិសដែលរ៉ឺស័របញ្ច្រាស។

ជំហានទី 2៖ មុំវិលដែលម៉ូម៉ង់របស់រ៉ឺស័របង្កើត

ម៉ូម៉ង់រ៉ឺស័រនៅ B គឺ \(M_B = \beta\,\theta_B\)។ ម៉ូម៉ង់ដែលអនុវត្តនៅចុងរ៉ូឡឺរនៃធ្នឹមកុងសូលដែលមានទ្រទ្រង់ បង្វិលចុងនោះដោយ

\[ \theta_M = \frac{M_B L}{4EI} \]

ជំហានទី 3៖ បញ្ចូលផលទាំងពីរ

ជំនួសក្នុង \(\theta_B = \theta_0 - \theta_M\)៖

\[ \theta_B = \frac{wL^3}{48EI} - \frac{\beta L}{4EI}\,\theta_B \]

ប្រមូលពាក្យ \(\theta_B\)៖

\[ \theta_B\left(1 + \frac{\beta L}{4EI}\right) = \frac{wL^3}{48EI} \]

គុណនឹង \(48EI\) ទទួលបានលទ្ធផល៖

\[ \boxed{\;\theta_B = \frac{wL^3}{12\,(\beta L + 4EI)}\;} \]

ម៉ូម៉ង់រ៉ឺស័រគឺ៖

\[ M_B = \beta\,\theta_B = \frac{\beta\, wL^3}{12\,(\beta L + 4EI)} \]

ពិនិត្យករណីកម្រិតកំណត់

ករណី	ភាពរឹងរ៉ឺស័រ	មុំវិល \(\theta_B\)	អត្ថន័យ
គ្មានរ៉ឺស័រ	\(\beta = 0\)	\(\dfrac{wL^3}{48EI}\)	ធ្នឹមកុងសូលដែលមានទ្រទ្រង់; ចុងរ៉ូឡឺរវិលសេរី
មធ្យម	\(0 < \beta < \infty\)	នៅចន្លោះកម្រិតទាំងពីរ	រ៉ឺស័របញ្ចុះការវិលមួយផ្នែក
ការរារាំងវិលរឹង	\(\beta \to \infty\)	\(\to 0\)	ចុងត្រូវបានរារាំងពេញលេញពីការវិល

មុំវិលថយចុះពីតម្លៃធ្នឹមកុងសូលដល់សូន្យ នៅពេលរ៉ឺស័របានរឹងឡើង។ នេះត្រូវនឹងការរំពឹងទុកតាមរូបវិទ្យា។

ឧទាហរណ៍គណនា

យក \(w = 10\ \text{kN/m}\), \(L = 6\ \text{m}\) និង \(EI = 2\times10^{4}\ \text{kN·m}^2\)។ នោះ

\[ \theta_0 = \frac{10 \cdot 6^3}{48 \cdot 2\times10^{4}} = 0.00225\ \text{rad} \]

សម្រាប់រ៉ឺស័រ \(\beta = 4EI/L = 1.333\times10^{4}\ \text{kN·m/rad}\)៖

\[ \theta_B = \frac{10 \cdot 6^3}{12\,(8\times10^{4} + 8\times10^{4})} = 0.001125\ \text{rad} \]

ម៉ូម៉ង់រ៉ឺស័រ \(M_B = \beta\theta_B = 15\ \text{kN·m}\)។ រ៉ឺស័របញ្ចុះមុំវិលពាក់កណ្ដាល ហើយទទួលមួយភាគបីនៃម៉ូម៉ង់ចុងថេរ \(wL^2/8 = 45\ \text{kN·m}\) នៃធ្នឹមដែលគ្មានរ៉ឺស័រ។

មុំវិលនៅ B ធៀបនឹងតម្លៃគ្មានរ៉ឺស័រ និងម៉ូម៉ង់រ៉ឺស័រធៀបនឹង $wL^2/12$ ជាអនុគមន៍នៃ $\beta L/EI$។

ការសន្មត

ដំណោះស្រាយសន្មតថាសម្ភារៈមានលក្ខណៈលីនេអ៊ែរ និងជាប់បាច់ \(EI\) ថេរ មុំវិលតូច និងរ៉ឺស័រលីនេអ៊ែរដែល \(M_B = \beta\theta_B\)។ បន្ទុកស្មើគ្នា ហើយដាក់ពេញប្រវែង។ ភាពរឹង \(\beta\) ជា kN·m/rad និង \(EI\) ជា kN·m² ដូច្នេះ \(\beta L/EI\) គ្មានឯកតា។

ការត្រួតស៊ីគ្នា៖ មុំវិលក្រោមបន្ទុក ដកមុំវិលដែលម៉ូម៉ង់រ៉ឺស័របង្កើត។